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∑是柱面x^2+y^2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分,则∫∫zDxDy+xDy

补平面z=0(下侧),z=3(上侧),x=0(后侧),y=0(左侧),这几个平面与原来的曲面构成一个封闭曲面,则整个积分可用高斯公式 ∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=∫∫∫ (1+1+1) dxdydz=3∫∫∫ 1 dxdydz 被积函数为1,积分结果为区域体积,该区域体积为:3π/4=9π/4 下面将补的平面上积分全部减出去 z=0:∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=0 z=3:∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=∫∫3dxdy=3(π/4)=3π/4 x=0:∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=0 y=0:∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=0 因此原积分=9π/4-3π/4=3π/2

高斯公式法.取Σ:x + y = 1,前侧补Σ1:z = 3,上侧补Σ2:z = 0,下侧补Σ3:x = 0,后侧 ∫∫(Σ+Σ1+Σ2+Σ3) ydzdx = ∫∫∫Ω (0 + 1 + 0) dxdydz= ∫∫Ω dxdydz= (1/2) * π * 1 * 3= 3π/2 ∫∫Σ1 ydzdx = ∫∫Σ2 ydzdx = ∫∫Σ3 ydzdx = 0所以∫∫Σ ydzdx = 3π/2普通法.

第一个是对坐标的曲面积分,dxdy=dScosγ=0,即曲面在xoy平面投影为零,所以积分值为0第二个是对面积的曲面积分,因为x^2+y^2=1,所以被积函数化简为1,此时,就是圆柱体的侧面积,即为2π*1*1=2π,所以第二个积分值是2π.区

本题最简单的方法是高斯公式 补σ1:z=2,x+y≤4,上侧 则两曲面加起来为封闭曲面,由gauss公式 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫ (1-1)dxdydz=0 因此原积分与σ1上的积分互为相反数 原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy 积分曲面为σ1:z=2,x+y≤4上侧=-∫∫ -2 dxdy=2∫∫ 1 dxdy 被积函数为1,积分结果为区域面积:π*2=8π

分段, [x^2+y^2]=0或1x^2+y^2x=rcosa, y=rsina, dxdy=rdrda积分=(r^3sin2a/2)drda=-cos2ar^4/16 0=1/81x=rcosa, y=rsina, dxdy=rdrda积分=(r^3sin2a/2)drda=-cos2ar^4/8 1=1/4所以原式=3/8

x+y=9是柱面的侧面的曲面积分而∑是整个表面积,包含了上下两个圆面求积分的时候要把这两个减去

∫∫(3-x-y)dxdy=∫∫(3)dxdy=3π.【关键是利用被积函数奇偶性与积分区域对称性】因为x关于x为奇函数,D关于y轴对称,所以∫∫(x)dxdy=0类似地,有 ∫∫(y)dxdy=0

沿三个坐标面投影计算二重积分即可,注意XOY方向的投影退化为一条圆弧,即dxdy=0

设l为柱面的底,即圆(x-1)^2+(y-1)^2=1.那么 设x=1+cost,y=1+sintz=x^2+y^2=(1+cost)^2+(1+sint)^2=3+2cost+2sintdl=√[(x'(t))^2+(y'(t))^2]dt=dtA=∫zdl=∫(0->2π) (3+2cost+2sint)dt=6π

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