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多元隐函数求偏导公式法

二元隐函数 z=f(x,y) "求一阶时,能把Z看作常数对X求偏导" 是指:令 F(x,y,z)=f(x,y)-z,F'=f/x,F'=f/y,F'=-1,则z/x=-F'/F'=f/x,z/y=-F'/F'=f/y,注意,这里是 F(x,y,z) 求一阶偏导数时,是把Z看作常数,将 F(x,y,z) 分别对X,y求偏导!而不是 z=f(x,y) 求一阶偏导数时,把Z看作常数,z 本来就是x,y的函数!若对 z(x,y) 求二阶偏导时,即把 z/x,z/y 再分别对x,y求偏导时,因 z/x,z/y 都是 x,y的函数,自然要把Z,z/x,z/y 都看作X和Y的函数.

解:令:F(x,y,z)=z-2xz+y=0 F'x=-2z F'y=1 F'z=3z-2x 根据隐函数求偏导公式:z/x= - F'x/F'z= 2z/(3z-2x) z/y= - F'y/F'z= -1/(3z-2x)= - (3z-2x)^(-1) z/x={2(z/x)(3z-2x)-2z[6z(z/x)-2]}/(3z-2x)=[4z-12z(2z/(3z-2x))+4z]/(3z-2x) z/y=6z[-1/(3z-2x)]/(3z-2x)=-6z/(3z-2x)

这要看具体情况, 隐函数求偏导有2个方法, 方法1是公式法,在这个题,公式就是Эz/Эx= -(Эψ/Эx)/(Эψ/Эz) 方法2是用方程两边对x求导的方法(实际就是推导上面公式的过程

两边对y求偏导 zF'1+y(z/y)F'1+F'2+x(z/y)F'2=0 (z/y)(F'1+xF'2)=-zF'1-F'2 z/y=-(zF'1+F'2)/(F'1+xF'2)

对方程求全导数得到:dx+dy+dz-2*(1/2)(yzdx+xzdy+xydz)/√xyz=0√xyzdx+√xyzdy+√xyzdz-yzdx-xzdy-xydz=0(√xyz-xy)dz=(yz-√xyz)dx+(xz-√xyz)dy所以dz=[(yz-√xyz)/(√xyz-xy)]dx+[(xz-√xyz)/(√xyz-xy)]dy则:z对x的偏导数为:(yz-√xyz)/(√xyz-xy)z对y的偏导数为:(xz-√xyz)/(√xyz-xy)

xu+yz=v① sinx+2zv=u②①代入②,sinx+2z(xu+yz)=u,u=(sinx+2yz)/(1-2xz)③du/dx=[(sinx+2yz)'(1-2xz)-(sinx+2yz)(1-2xz)']/(1-2xz)=[cosx*(1-2xz)+4xz(sinx+2yz)]/(1-2xz)

只有三个二阶偏导,z/x,z/y,z/(xy),(z/(xy)和z/(yx)是等价的,与求偏次序无关).z - 2xz + y = 0 z关于x的一阶偏导数为z/x3z(z/x) - 2z - 2x(z/x) = 0z/x = 2z/(3z - 2x)关于x的二阶偏导数

设F(x,y,u,v)=0与G(x,y,u,v)=0确定了u、v分别是x、y的二元函数,将两个方程分别微分,得到两个关于dx、dy、du、dv的方程(组),从中解出du、dv,再根据全微分,即可求得偏导数.

两边对y求偏导zF'1+y(z/y)F'1+F'2+x(z/y)F'2=0(z/y)(F'1+xF'2)=-zF'1-F'2z/y=-(zF'1+F'2)/(F'1+xF'2)

uv = x, u^2 v^2 = y两式两边分别对 x 求偏导得vu/x + uv/x = 1, 2uv^2u/x + 2vu^2v/x = 0即 vu/x + uv/x = 1, vu/x + uv/x = 0两式矛盾.解不出u/x,v/x.请附印刷版原题图片.

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