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高数 定积分的大小 i1=∫(0%>π/2) sinx/xDx i2=(0%>π/2)x/xi

I1-I2=∫[(sinx/x)-(x/sinx)]dx=∫[(sinx-x)/(x*sinx)]dx=∫[(sinx+x)*(sinx-x)/(x*sinx)]dx 因为在(0,π/2)上,x>sinx>0 所以,(sinx+x)*(sinx-x)/(x*sinx)则,I1

∫(0,π/2)xdx=(1/2)x^2|(0,π/2)=(1/2)π^2=(π^2)/8>1∫(0,π/2)sinxdx=-cosx|(0,π/2)=0+1=1所以,∫(0,π/2)xdx>∫(0,π/2)sinxdx

第一个=π^2/8 x^2/2 0是下限,π/2是上限 第二个=1-cosx 0是下限,π/2是上限 第一个大

由于∫(0→π/2)sinxdx=sin(兀/2)=1∫(0→π/2)xdx=兀/2本题没有什么要考虑其他的东西就是把x=兀/2代入即可即∫(0→π/2)sinx/xdx=1/(兀/2)=2/兀

解: ∫(0→π/2)(cosx)^5(sinx)dx=∫(0→π/2)(cosx)^4(sinx)d(sinx)=∫(0→π/2)(1-sinx)(sinx)d(sinx)=∫(0→π/2)[(sinx)^6+2(sinx)^4+(sinx)^2]d(sinx)=[1/3(sinx)^3-2/5(sinx)^5+1/7(sinx)^7] |(0→π/2)=1/3-2/5+1/4=8/105

这题用这条积化和差公式较快,sinasinb=(-1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)] 证明的话将右边展开就行,下面入正题原式=(-1/2)∫[cos5x-cosx]dx=(-1/10)∫cos5xd(5x)+(1/2)∫cosxdx=(-1/10)sin5x+(1/2)sinx+c

x∈ (0,π/2)时,2/π*x<sinx<x所以2/π<sinx/x<1所以原式>∫(0→π/2)2/π*dx=1原式<∫(0→π/2)1*dx=π/2

定积分∫ π 2 0 sinx dx=(-cosx)|0 π 2 =0+1=1.故答案为:1.

积分上下限为π2和0,算式中没写,用分步积分:∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx=sinx-xcosx=1

解:用分部积分法做 ∫ xsinx dx (u = x, v' = sinx, v = -cosx)= -xcosx - ∫ -cosx dx= -xcosx + sinx + C 定积分从0到π/2= (0 + 1) - (0)= 1

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