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齐次方程的通解的步骤

(1)*2+(3)得 x+2y+2w=0 ,减(2)得 w=0 .取 y=k (k 为任意实数),则 x= -2k ,代入(1)得 z=0 ,由此得方程组的通解为 (x,y,z,w)=(-2k,k,0,0).(k 为任意实数)

齐次方程组,先判断有无非零解,有非零解时求出基础解系,通解是基础解系的线性组合.非齐次方程组,先判断有没有解,有没有无穷多解,有无穷多解时求出一个特解,再求出导出组即对应的齐次方程组的基础解系,通解是这些基础解系的线性组合加特解.

(1)令y=xt,则y'=xt'+t代入原方程,得y'=(y/x)ln(y/x)==>xt'+t=tlnt==>xt'=t(lnt-1)==>dt/[t(lnt-1)]=dx/x==>d(lnt-1)/(lnt-1)=dx/x==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)==>lnt-1=

三个方程,有四个未知数,解不出来

该齐次方程组的系数矩阵初等行变换为 A → [1 3 1] [4 -2 3] [0 0 0] A → [1 3 1] [0 -14 -1] [0 0 0] 即方程组同解变形为 x1 + 3x2 = -x3 14x2 = -x3 取自由未知量 x3 = 14, 得基础解系 (11, 1, -14)^T

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组.求向量组的极大无关组的一般步骤:1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵;2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵;3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组.求齐次线性方程组通解要先求基础解系,步骤:a. 写出齐次方程组的系数矩阵a;b. 将a通过初等行变换化为阶梯阵;c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n r 个);d.令自由元中一个为 1 ,其余为 0 ,求得 n r 个解向量,即为一个基础解系.齐次线性方程组ax= 0:若x1,x2… ,xn-r为基础解系,则x=k1 x1+ k2 x2 +…+kn-rxn-r,即为ax= 0的全部解(或称方程组的通解).

【重点评注】 非齐次线性方程组Ax=b的求解方法:1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵;2、求出导出组Ax=0的一个基础解系;3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0)4、按解的结构 ξ(特解)+k1a

解: 增广矩阵 =1 1 1 -1 22 1 -2 3 02 2 -1 2 2r2-2r1,r3-2r11 1 1 -1 20 -1 -4 5 -40 0 -3 4 -2r1+r2-r31 0 0 0 00 -1 -4 5 -40 0 -3 4 -2r3*(-1/3), r2+4r31 0 0 0 00 -1 0 -1/3 -4/30 0 1 -4/3 2/3r3*(-1)1 0 0 0 00 1 0 1/3 4/30 0 1 -4/3 2/3

求通解是对齐次的说的,若有两个自由变量,四维的方程组,就依次取c1=(0010)c2=(0001)然后算方程组的解.若有三个自由变量,就依次取为c1=(0100)c2=(0010)c3=(0001)然后求出方程组的通解.而对于特解自由变量都取0就好了只要满足方程就好,所以自由变量可以随便取.求通解时,因为他是基础解系,别的解要由他能够表示,所以不能同时为零,必须有不为零的数,所以取1最简单

二阶线性齐次方程的一般形式为:y''+a1y'+a2y=0,其中a1,a2为实常数.我们知道指数函数e^(ax)求导后仍为指数函数.利用这个性质,可适当的选择常数ρ,使e^(ax)满足方程

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