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证明∫0^+ ∞sinx/xDx条件收敛

证明不是绝对收敛利用了|sinx|

首先,x=0不是瑕点,再由于被积函数是奇函数,因此只需考虑(从1到无穷)sinx/xdx即可.用Dirichlet判别法知道积分(从1到无穷)sinx/xdx是收敛的.其次,对于积分(从1到x)|sinx/x|dx,由于|sinx/x|>=sin^2x/x=(1--cos2x)/(2x)=1/(2x)--cos2x/(2x),还是用Dirichlet判别法知道积分(从1到无穷)cos2x/(2x)dx收敛,而积分(从1到无穷)1/(2x)dx发散,因此由比较判别法知道积分(从1到无穷)|sinx|/xdx发散.综上,广义积分(从1到无穷)sinx/x条件收敛.

如图所示:条件收敛.

发散.当λ小于等于0时,发散是显然的.当λ大于0时,可用狄立克莱判别发证明∫0+∞sin(x)/x^λdx收敛,而∫0+∞sinxdx发散,所以两者之和为发散.

次积分在p【0,1】的条件下绝对收敛(自然也就条件收敛),证明如下:0=

∫+∞0sinxβxαdx=∫10sinxβxαdx+∫+∞1sinxβxαdx=I1+I2.对于I1,由于当x→0时,sinxβxα~1xα-β,故当α-β>1时,I1发散;当α-β≤1时,I1收敛.对于I2,令t=xβ,x>0,则I2 =∫+∞1sinttαβ1βt1β

绝对收敛就一定收敛,所以研究|sinαx/x|的敛散性 当x≥1时,因为|sinαx/x|=|sinαx|/x≤1/x≤1/x 而∫[1,+∞]dx/x收敛,根据比较审敛法,∫[1,+∞]|sinαx/x|dx收敛,所以∫[1,+∞]sinαx/x*dx收敛

令u(n)=(1-sinx)^n,显然,级数∑(n=1→∞)u(n)为正项级数.lim(n→+∞)u(n+1)/u(n)=1-sinx,当x∈(0,π/2),0

这是交错级数,如图,由莱布尼兹定理知级数收敛.经济数学团队帮你解答,请及时评价.

这是昨天的回答.当p=0时,a2n=--2,a(2n-1)=2,级数不收敛.当p=sinx x位于(2npi (2n+1)pi),因此a(2n-1)>=2,级数不收敛.当p>0时,an的和是积分(从0到npi)sinx/x^pdx,此广义积分用Dirichlet判别法知道是收敛的,因此级数an收敛.当p>1时广义积分绝对收敛,级数也绝对收敛.当0

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